One Dimensional Problem

まず, 一本道での戦闘のように, 両軍の先頭の n 人のみが戦闘に参与して, 残 りは遊兵となっている場合を考えよう.

 

Figure: 一本道の戦闘

ここで, 微小時間 ${\rm d}t$ におけるX軍の一人当の殺傷数を $p{\rm d}t$, Y 軍のそれを $q{\rm d}t$ とすると, その間の両軍の兵力 x(t), y(t) の変化 ${\rm d}x, {\rm d}y$ は $-nq{\rm d}t, -np{\rm d}t$ となる. つまり,

$${\rm d}x = -nq{\rm d}t\;,\ {\rm d}y = -np{\rm d}t\;,$$ (3)

もしくは,

 

$$\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} = -nq\;,\ \frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} = -np\;,$$ (4)

となる. これは直ちに解けて,

$$x(t) = x_{0} - nqt\;,\ y(t) = y_{0} - npt\;,$$ (5)

となる. Y軍が劣勢であるとすると, 時刻 T = y₀/(np) には戦闘が終結し, そのときのX軍の兵力 x_T は,

$$x_{T} = x(T) = x_{0} - nqT = x_{0} - (q/p)y_{0}\;,$$ (6)

となる. つまり, この戦闘は殲滅方程式(2)に従わない.

x₀ = 100, y₀ = 50, p = 1, q = 1, n = 1 のときの戦闘の推移は図 2のようになる.

  

Figure: 一本道の戦闘の推移: x₀ = 100, y₀ = 50, p = 1, q = 1, n = 1 のとき

また, x₀ = 100, y₀ = 50, p = 1, q = 2, n = 1 のときは図 3のようになる.

  

Figure: 一本道の戦闘の推移: x₀ = 100, y₀ = 50, p = 1, q = 2, n = 1 のとき