Multi Dimensional Problem

次に, 遊兵が存在しないような全面衝突について考える.

 

Figure: 全面衝突

まず, 問題を単純化して, p = q の場合を考えよう. このとき微小時間 ${\rm d}t$ あたりの両軍の兵力の変化は, それぞれ, ${\rm d}x = -py {\rm d}t$, ${\rm d}y = -px{\rm d}t$ となる. すなわち,

  

$$\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} -py\;,$$ = (7)

$$\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} -px\;.$$ = (8)

これらは, 式(4)に一見似てるように見えるが, 右辺に未知関数 が表われる点が違う.

少し細かい計算になるが, 微分方程式(7), (8)を解くために, 両式から y を消去すると,

 

$$\frac{{\rm d}^{2}x}{{\rm d}t^{2}} = p^{2}x\;,$$ (9)

となる. これの一般解は,

 

$$x(t) = A {\rm e}^{pt} + B {\rm e}^{-pt}\;,$$ (10)

である.¹ ただし, A, B は積分定数である. 式 (10)を(7)に代入すれば y が求められる:

 

$$y(t) = -A {\rm e}^{pt} + B {\rm e}^{-pt}\;.$$ (11)

初期条件, x(0) = x₀, y(0) = y₀ を(10), (11)に代入すると,

$$x_{0} = A + B\;, \ y_{0} = -A + B\;,$$ (12)

となり, よって,

$$A = (x_{0} - y_{0})/2\;,\ B = (x_{0} + y_{0})/2\;,$$ (13)

となる. Y軍が全滅する時刻を T とすると,

$$y(T) = -A {\rm e}^{pT} + B {\rm e}^{-pT} = 0\;.$$ (14)

これより,

$${\rm e}^{2pT} = B/A\;.$$ (15)

よって,

$$A {\rm e}^{pT} + B {\rm e}^{-pT} = A\sqrt{B/A} + B\sqrt{A/B} = 2\sqrt{AB}$$ x_T = x(T) =

$$\sqrt{x_{0}^{2} - y_{0}^{2}}\;.$$ = (16)

これは, 殲滅方程式(1)と同じ結果である.

x₀ = 100, y₀ = 50, p = 1, q = 1 のときの戦闘の推移は図 5のようになる. 遊兵の比率を除けば, 図2と 全く同じ条件だが, X軍の被害はかなり少ない. 戦闘終結時のX軍の被害は13程度 である. また, 戦闘時間が n/x₀ = 1/100 程度に短縮されている.

  

Figure: 全面衝突の戦闘の推移: x₀ = 100, y₀ = 50, p = 1, q = 1 のとき

次に, $p \neq q$ の場合を考えよう. このとき微小時間 ${\rm d}t$ あたりの 両軍の兵力の変化は, それぞれ, ${\rm d}x = -qy {\rm d}t$, ${\rm d}y = -px{\rm d}t$ となる. すなわち,

  

$$\frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} -qy\;,$$ = (17)

$$\frac{{\rm d}y}{{\rm d}t} -px\;.$$ = (18)

(17), (18)から y を消去すると,

 

$$\frac{{\rm d}^{2}x}{{\rm d}t^{2}} = pqx\;,$$ (19)

となる. p = q のときと同様の計算で,

  

$$A {\rm e}^{st} + B {\rm e}^{-st}\;,$$ x(t) = (20)

$$r[-A {\rm e}^{st} + B {\rm e}^{-st}]\;,$$ y(t) = (21)

$$\sqrt{pq}\;,\ r = \sqrt{p/q}\;.$$ s = (22)

$$(x_{0} - y_{0}/r)/2\;,\ B = (x_{0} + y_{0}/r)/2\;,$$ A = (23)

となる. Y軍が全滅する時刻を T とすると,

$$y(T) = r[-A {\rm e}^{sT} + B {\rm e}^{-sT}] = 0\;.$$ (24)

これより,

$$x_{T} = \sqrt{x_{0}^{2} - (q/p) y_{0}^{2}}\;.$$ (25)

これは, 拡張された殲滅方程式(2)と同じ結果である.

x₀ = 100, y₀ = 50, p = 1, q = 2 のときの戦闘の推移は図 6のようになる. 図3の場合は共倒れに持ち 込めたが, 今回は大勢に影響はない. 全滅が15%ほど先送りされただけである. ただし, X軍の被害は図5の二倍をやや超えて30程度になってい る. 二倍を超えたのは全滅が遅くなったためである.

  

Figure: 全面衝突の戦闘の推移: x₀ = 100, y₀ = 50, p = 1, q = 2 のとき